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勾股定理的趣闻


发布时间:2010-11-10




    勾股定理的发现和流传在历史上有很多有趣的传说。
    勾股定理在国外又叫毕达哥拉斯定理,是整个几何学中最为重要的定理之一。在古代,强大的古希腊把“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和”的命题同毕达哥拉斯联系在一起,但毫无疑问人们早在比达哥拉斯之前对这个定理就有所了解。但毕达哥拉斯学派对这个定理的发现仍然表现得极为狂热,在阿波罗文章里有对毕达哥拉斯学派举行“宏壮”的祭祀的描述:毕达哥拉斯学派在发现勾股定理后,为了感谢上天的厚赐,特举行了百牲大祭。历史上能和这种祭祀相媲美的只有泰利斯在验证了半圆所对的圆周角是直角。然而无论如何,这种流传至今的故事说明了勾股定理在古代的意义,该定理在毕达哥拉斯时代已经有了证明。
    后来有人对巴比伦的研究中发现了正方形对角线的计算方法,并以此推断巴比伦人早在一千多年之前就知道毕达哥拉斯定理的详细证明,322号巴比伦泥块提供了更多证据,从中可以发现有关毕达哥拉斯三角的一些图形。
    从幸存至今的古埃及绳架可以判定埃及人也了解一些关于该定理的知识,公元前十二世纪的埃及草纸也可以证明古埃及人大约在两千年前就知道了42 32=52, 但古埃及人究竟是了解还是能用图形的方法证明直角三角形的这个性质还不得而知。事实上当要求用埃及的方法证明“边长分别为3-4-5的三角形是直角三角形”这个命题时,对今天的学生也是一个挑战,无论运用毕达哥拉斯定理还是用它的变式。
    这个定理也不完全起源于西方。早在公元前五世纪出现的印度数学中就给出的关于祭坛比例的有关规律就暗含了该定理的存在,但我们还不能据此认为印度人对几何证明的实质有所了解。中国的《周髀算经》(大约是在公元前202年-公元后220年的汉朝,或许更早一些)记载西周开国时期周公和商高的讨论测量的对话中,商高答周公问时提到“勾广三,股修四,径隅五”,这是勾股定理的特例,是从天文测量中总结出勾股定理。中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是赵爽,他在注解《周髀算经》时,运用面积的出入相补证明了勾股定理。中国数学注重使用轻推理,所以没有给出逻辑上的证明。
    到了欧几里德著《几何原本》的时候,人们已经发现不是所有的线段都是可公度的,所以毕达哥拉斯根据相似图形的比例关系给出的定理证明不能成立。因此,欧几里德在《原本》中就有必要给出更充分的证明。也有人猜测欧几里德只是为了能把这一命题放在第一卷中完成而重新证明。但无论是哪一种情况都表明当欧几里德把它放在第一卷时,该命题及其逆定理已日臻完美。(欧几里德第一卷中第47命题就是毕达哥拉斯定理,但附带证明被广泛认为是欧几里德所为。)1907年,Elisa Scott Loomis在准备《毕达哥拉斯定理》(该书在第二版时给出了该定理的370种证明方法)的初稿时,不无遗憾地说:“近来我发现美国的两三种几何课本没有运用欧几里得的证明方法,大概是这些著者想展现自己的原创精神和超前意识,所以他运用了其他的证明方法,欧氏证明的省略就象在上演《哈姆雷特》,而哈姆雷特却没有出现。”
    无论欧几里得的命题翻译成何种语言,该命题都能通过几何作图就能证明。Bergamini就曾给出用以下语言表达该命题的最早时间:希腊语(公元800年前),阿拉伯语(公元前1250年),拉丁语(1120年),法语(1564年),英语(1570年),汉语(1607年)。关于该定理证明的几何图形有时被人称为“新娘的椅子”,可能是该图形看起来象仆人背着一把椅子,新娘坐在上方去参加婚礼。
    印度学者Bhaskara(公元前1150年)曾给出该命题的最简略的证明,他只给出了没有解释的几何图形和最简单的代数证明,只有一个字“瞧”。
    H. Perigal在1873年完善了另一种分析证明,是对古埃及九世纪“伊本 ▪ 瓜拉”泥块上类似证明的再发现。只要知道三角形和正方形的面积公式,人们就可以通过面积相加完成定理的证明。
    从来没有任何其他的数学命题象勾股定理这样能引起不同时代不同国家人们的关注,并产生如此丰富的几何和代数证明方法。


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